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Transformada rápida de Fourier

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Transformada rápida de Fourier

FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el Procesamiento digital de señales|tratamiento digital de señales y Filtro digital,filtrado digital en general a la resolución de Ecuación diferencial ,ecuaciones diferenciales parciales o los Algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros. El Algoritmo pone algunas limitaciones en la señal y en el espectro resultante. Por ejemplo: la señal de la que se tomaron muestras y que se va a transformar debe consistir de un número de muestras igual a una potencia de dos. La mayoría de los analizadores TRF permiten la transformación de 512, 1024, 2048 o 4096 muestras. El rango de frecuencias cubierto por el análisis TRF depende de la cantidad de muestras recogidas y de la proporción de muestreo.

Definición: Se parte de la transformada discreta de Fourier.

La evaluación directa de esa fórmula requiere O(n²) operaciones aritméticas. Mediante un algoritmo FFT se puede obtener el mismo resultado con sólo O(n log n) operaciones. En general, dichos algoritmos dependen de la factorización de "n" pero, al contrario de lo que frecuentemente se cree, existen FFTs para cualquier n, incluso con n primo.

La idea que permite esta optimización es la descomposición de la transformada a tratar en otras más simples y éstas a su vez hasta llegar a transformadas de 2 elementos donde k puede tomar los valores 0 y 1. Una vez resueltas las transformadas más simples hay que agruparlas en otras de nivel superior que deben resolverse de nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel más alto. Al final de este proceso, los resultados obtenidos deben re-ordenarse.

Aplicaciones

 i)   Tratamiento de imagen (PNG) y audio (MP3)
 ii)  Reducción de ruido en señales, como el ruido blanco
 iii) Análisis en frecuencia de cualquier señal discreta
 iv)  Análisis de materia y estadística
 v)   Síntesis, mediante la transformada inversa IFFT


TRANSFORMADA DE FOURIER PARA APROXIMACIONES DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER:

parte 1:


f(t)= \sin t, 0\leq t\leq 4
con periodo =4
entonces la función se comporta de la siguiente manera:
por lo tanto podemos decir que:
C_{k}= \frac{1}{p}\int_{0}^{p}f(\xi )e^{\frac{-2\Pi ik\xi}{p} }d\xi
     = \frac{1}{4}\int_{0}^{4}\sin \xie^{\frac{-2\Pi ik\xi  }{4}} d\xi
     .
     .
     .
     = \frac{\cos (4)- 1}{\Pi ^{2}k^{2}-4}+\frac{1}{2}i\frac{\Pi k\sin (4)}{\pi^{2}k^{2}-4}
  con K = 0,\pm1,\pm2,\pm3,...


parte 2:


f(t)=\sin t  en [0,4]
entonces
\Delta t = \frac{4-0}{N}
entonces:
::0,\frac{4}{N},2\frac{4}{N},3\frac{4}{N}...,j\frac{4}{N},(j+1)\frac{4}{N}


para lo cual tenemos el siguiente intervalo donde se encuentra el j-enésimo dato:
[j\frac{4}{N},(j+1)\frac{4}{N}]




Aproximaciones de transformada de Fourier por Transformada rápida de Fourier de N puntos

\hat{f}\left ( w \right )=\int_{-\infty }^{\infty } f\left ( t \right ) e^{-iwt} dt \cong \int_{0}^{2\pi L} f\left ( t \right ) e^{-iwt} dt


\hat{f}\left ( w \right )=\sum_{j=0}^{N-1}f\left ( \frac{ij2\pi L}{N} \right )e^{\frac{-ijw\pi L}{N}}

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\hat{f}\left ( \frac{K}{L} \right )\cong \frac{2\pi }{N}\sum_{J=0}^{N-1} f\left ( \frac{j2\pi L}{N} \right )e^{\frac{-i2jk\pi }{N}}

U_{k}=\left \{ f\left ( \frac{j2\pi L}{N} \right ) \right \}

Ejemplo:


f\left ( t \right )=\left \{\frac{e^{-t}; t\geq 0}{0; t< 0}

f\hat{w}=\frac{1-iw}{1+w^{2}}

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