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Trazo de curvas

De por WikiMatematica.org


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Trazo de Curvas.

Para trazar una curvas se necesitan muchas cosas como: dominio, intervalo, simetría. límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos, intervalos de incremento y decremento, concavidad y puntos de inflexión; todo esto nos revela las características importantes de las funciones.

La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesantes de las gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y mínimos y los puntos de inflexión, y no solo en forma aproximada.


Normas para trazar una curva

La lista siguiente es una guía para graficar una curva y=f(x) a mano. Habrá algunas funciones en las que no se apliquen todos los puntos; pero las normas proporcionan toda la información que se necesita para elaborar un diagrama que muestre los aspectos más importantes de la función.

a) Dominio

Con frecuencia es muy útil para determinar el dominio D de f, es decir, el conjunto de valores de x para el cual f(x) esta definida.


b) Intersecciones

La intersección con el eje y es F(0) lo cual señala donde la curva corta al eje de las y. Para determinar las intersecciones con el eje de las x, haga y=0 y determine x. (Puede omitir este paso si la ecuación es difícil de resolver).


c) Simetría

(i)
Si f(-x) = f(x)para toda x en D, es decir que la ecuación de la curva no cambia cuando x se reemplaza por -x, entonces f es una función par y la curva es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que que la tarea se reduce a la mitad. Si conoce ki que de la curva se parece a x>=0, por lo tanto solo necesita reflejar con respecto al eje y para obtener la curva completa.


(ii)
Si f(-x)=-f(x) para toda x en D, entonces f es una función impar y la curva es simétrica con respecto al origen. Una vez más, obtenga la curva completa si conoce lo que de la curva se parece x>=0. Gire 180^0 con respecto al origen.


(iii)
Si f(x+p)=f(x) para toda x en D, donde p es una constante positiva, entonces f se llama función periódica y el número p más pequeño se llama periodo.

d) Asíntotas

(i)
Asíntotas horizontales. Si \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = L o \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = L, en tal caso la recta y=L es una asíntota horizontal de la curva y=f(x). Si resulta \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = \infty (o -\infty), en tal caso no hay una asíntota a la derecha, sino que todavia es información útil para graficar la curva.
(ii)
Asíntotas verticales La recta x=a es una asíntota vertical si por lo menor una de las siguientes proposiciones se cumple: \lim_{x\rightarrow a^+ } f(x) = \infty, \lim_{x\rightarrow a^- } f(x) = \infty, \lim_{x\rightarrow a^+ } f(x) = -\infty ó \lim_{x\rightarrow a^- } f(x) = -\infty.

e) Intervalos de incremento y decremento

Calcule {f}'(x) y determine los intervalos en los cuales {f}'(x) es positiva, es decir, donde (f sea creciente) y los intervalos en donde {f}'(x) sea negativa, (f sea decreciente).


f) Valores de los máximos y mínimos

Determine los números críticos de f (los números c donde {f}'(c)=0 o bien, {f}'(c) no existe). Luego aplique la prueba de la primera derivada. si {f}' pasa de positivo a negativo en un número crítico c, por lo tanto f(c) es un máximo. Si {f}' cambia de negativo a positivo en c, en consecuencia f(c) es un mínimo.

g) Concavidad y puntos de inflexión

Calcule {f}''(x) y aplique la prueba de concavidad. La curva es cóncava hacia arriba donde {f}''(x)>0 y cóncava hacia abajo donde {f}''(x)<0. Los puntos de inflexión se encuentran donde cambia la dirección de la concavidad.

h) Trace la curva

A partir de la información anterior dibuje la gráfica. Trace la asíntotas como lineas discontinuas. Localice las intersecciones, los puntos máximos, mínimos y puntos de inflexión. Luego haga que la curva pase por estos puntos, subiendo y bajando de acuerdo con "e", la concavidad según "g" y aproxímela a las asíntotas. Si se necesita mayor precisión cerca de algún punto, calcule el valor de la derivada en dicho punto. La tangente indica la dirección en la cual progresa la curva. En caso no logremos graficar correctamente también podemos recurrir a encontrar algunos punto valuando la función para darnos una mejor idea de la forma de nuestra función.


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