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Valor Absoluto

De por WikiMatematica.org

Todos los números tienen una representación en la recta real. El valor absoluto de un número entero representa la distancia en una recta numérica hasta su valor en el origen, el cual es cero,es decir que el valor absoluto devuelve el número positivo de un número negativo o bien de un número positivo devuelve como resultado el mismo número positivo. En pocas palabras, el valor absoluto de un número es el mismo número con signo positivo. Por ejemplo:

El valor absoluto de \left | -5 \right |=5 al igual que el valor absoluto de \left | 5 \right |=5.

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están

formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor

absoluto de +3 y –3, y se indica de esta forma:

                   |+3|    =   | -3 |   =   3

Esto quiere decir que sin importar el signo del numero si tiene el simbolo del valor absoluto siempre sera positivo

Archivo:Valor.jpg

Para un número real el valor absoluto se calcula y se define así:

 \left | x \right | = \begin{cases}
&x, \text{ si } x\geq 0 \\ 
&-x, \text{ si } x< 0 
\end{cases}

Observemos los siguientes ejemplos:

Contenido

Propiedades del valor absoluto de un número Real

1) No negatividad:
\left | x \right | \geq  0
2) Definición positiva:
\left | x \right | = 0 \Leftrightarrow x = 0
3) Propiedad multiplicativa:
\left | xy \right | = \left | x \right |\left | y \right |
4) Propiedad aditiva:
\left | x + y \right | \leq  \left | x \right | + \left | y \right |
5) Simetría:
\left | -x \right | = \left | x \right |


Otras Propiedades

\left | a - b \right | =  0 \Leftrightarrow a = b
\left | a - b \right | \leq  \left | a - c \right | + \left | c - b \right |
\left | a - b \right | \leq  \right || | a | - | b| |\right |



Valor absoluto de un entero

   El valor absoluto de un entero es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo. En una línea numérica es la distancia entre el número y el cero.
   El valor absoluto de -15 es 15. El valor absoluto de +15 es 15.
   El símbolo para el valor absoluto consiste en encerrar el número entre barras verticales tales como |-20| = 20 y leer “El valor absoluto de -20 es igual a 20. 

Valor Absoluto de un Número Complejo

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

|a| = \sqrt a 2

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

z = x + iy

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

| z | = \sqrt x2 +\sqrt y 2

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

| x + i0 | =\sqrt x2 +\sqrt 0 2 = \sqrt x2 = | x |

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Con.svg.png

Ejemplo 1

a)  |4 - 4| = |0| = 0

b)  |2 - 5| = |-3| = - (-3) = 3

c)  |2| - |-5| = 2 - [- (-5)] = 2 - 5 = -3

d)  |4 + 4| = |8| = 8


Ejemplo 2

 |\sqrt{2} - 3 |

Primero debemos determinar si  (\sqrt{2} - 3) es positivo. Ya que  \sqrt{2} \approx 1.4 , vemos que  (\sqrt{2} - 3 ) es un número negativo. Asi,

 | \sqrt{2} - 3 | =  - (\sqrt{2} - 3) = - \sqrt{2} + 3

 = 3 - \sqrt{2}

Ejemplo 3

Encontrar  |x - 6| si a)  x > 6 b)  x = 6 c)  x < 6

a) Si  x > 6 entonces  x - 6 es positivo. Luego de la definición de valor absoluto concluimos que  |x - 6| = x - 6

b) Si  x = 6 entonces  x - 6 = 0 ; luego,  |x - 6| = |0| = 0

c) Si  x < 6 entonces  x - 6 es negativo y tenemos que  |x - 6| = - (x - 6) = 6 - x

Ejemplo 4

a) si tenemos  |x - 64| entonces  x > 64 y concluimos que  |x - 64|, x=64


El valor absoluto de un número es la distancia que le separa del cero en la recta numérica

Se escribe entre barras tal como se te indica en los siguientes ejemplos:

   *
     el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe así:    |-5|= 5
   *
     el valor absoluto de +3 es 3 y se escribe así:    |+3|= 3      


Ejemplo 5

Grafique  y = |x|


Absoluto.jpg

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