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Valor promedio de una función

De por WikiMatematica.org


Si se tuvieran los n valores de una función entonces su valor promedio se encontraría, sumando todos los valores y dividiendo dentro de n, ahora para una función continua f(x) en un intervalo cerrado \left [a,b  \right ] puede existir un número infinito de valores para considerar.

El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.

Se puede tomar una muestra de ellos. Hacemos una partición en el intervalo \left [a,b  \right ] en n subdivisiones de la misma longitud ( \Delta x = \frac{b - a}{n}), evaluamos f(x) en un punto Ci de cada subintervalo. El promedio de los n valores de la muestra es:


\frac{1}{n}(f(c1)+f(c2)+f(c3)+...f(cn))


= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(Ci)


=\frac{\Delta x}{b-a}\sum_{i=1}^{n}f(Ci)


=\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}f(Ci)\Delta x


Y sumando todas las partes se tiene \lim_{n\to \infty }\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}f(Ci)\Delta x


y con eso se llega a la integral de Riemann y se concluye que el promedio de una funcion viene dado por :


\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx

Contenido

Valor promedio de una función periódica

A diferencia que una función normal f(x), una función periódica tiene que cada T tiempo se repite la función, entonces para calcular su valor promedio de un punto t_{0} a un punto t_{0}+T se calcula:


\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)dx

Ejemplo 1

Encontrar el valor promedio de la función: f(t) = \left\{\begin{matrix}
5cos(5\Pi t) & -0.1\leq t< 0.1 \\ 
0 & 0.1\leq t\leq 0.3
\end{matrix}\right.


Primero es encontrar el periodo de la función T = 0.4


El valor promedio de una función se calcula como :


\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt entonces


\frac{1}{0.4}\int_{-0.1}^{0.3}f(t)dt


= \frac{1}{0.4}\int_{-0.1}^{0.1}5cos(5\Pi t)dt + \frac{1}{0.4}\int_{0.1}^{0.3}0dt


=\frac{25}{2}\int_{-0.1}^{0.1}cos(5\Pi t)dt


=\frac{5}{2\Pi}\left sen(5\Pi t)  \right |_{-0.1}^{0.1}


=\frac{5}{2\Pi}\left ( sen(\frac{\Pi}{2}) - sen(-\frac{\Pi}{2}) \right )


=\frac{5}{2\Pi}\left (2sen(\frac{\Pi}{2})  \right )


=\frac{5}{\Pi}\left (sen(\frac{\Pi}{2})  \right )


=\frac{5}{\Pi}

Ejemplo 2

Encuentre el valor promedio de la función

f(x) = sen 4x

\left (-\pi , \pi \right )c

\frac{1}{\pi + \pi } \int_{-\pi }^{\pi } sen 4x dx

\frac{1}{2\pi } \int_{-\pi }^{\pi } sen 4x dx = \frac{1}{2} \pi \left [ -\frac{1}{4} cos 4x \right ]

\frac{1}{2\pi } \left [ -\frac{1}{4} cos (4\pi ) + \frac{1}{4}  cos (4\pi )\right ]

\frac{1}{2\pi } \left [ - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right ] = 0

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