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Valores Máximos y Mínimos

De por WikiMatematica.org

Máximos y Mínimos, Punto de Inflexión

Contenido

Valor Maximo Absoluto

Una función  tiene un máximo absoluto en c si f(c) ≥ f(x)   para  toda x en D, donde  
De es el dominio de f, el numero f(x) se llama Valor Máximo de f en D.

Valor Minimos Absoluto

Una función  tiene un minimos absoluto en c si f(c) ≤ f(x)   para  toda x en D, donde  
De es el dominio de f, el numero f(x) se llama Valor Máximo de f en D.

Los Valores Maximos y Minimos de f se conocen como Valores Extremos.

Valor Maximos Locales

Una función  tiene un máximo locales en c si f(c) ≥ f(x) cuando x esta cercano a c. 
Esto significa que f(c) ≥ f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c.
Valor máximo de una función

Valor Minimos Locales

Una función  tiene un minimos locales  en c si f(c) ≤ f(x) cuando x esta cercano a c. 
Esto significa que f(c) ≤ f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c.
Valor mínimo de una función

Ejemplo 1


La suma del primero mas el doble del segundo es 100, y que el producto sea maximo.
x+2y=100

x*y=f(x,y)

Resolvemos para y en la primera ecuacion.

y= \frac{100-x}{2}

Sustituimos y en la f(x,y) y nos quedara solo en funcion de x.

f(x)= \frac{100x-x^{2}}{2}

Derivamos f(x) e igualamos a 0.

f'(x)= \frac{200-4x}{4}= 50-x=0

Resolvemos para x.

 x=50

sustituimos el valor de x encontrado, en la ecuacion donde despejamos y.

y= \frac{100-50}{2}

y=25

Comprobamos

50+2(25)=100

Ejemplo 2


Encuentre 2 numeros cuyo producto sea 192 y su valor sea minimo.
xy=192

x+y=f(x,y)

Resolvemos para x en la primera ecuacion.

x= \frac{192}{y}

Sustituimos x en la f(x,y) y nos quedara solo en funcion de y.

f(y)= \frac{192}{y}+y

Derivamos f(y) e igualamos a 0.

f'(y)= \frac{-192}{y^{2}}=0

Resolvemos para y.

y=-\sqrt{192} \approx 13.85

sustituimos el valor de y encontrado, en la ecuacion donde despejamos x.

x= \frac{192}{-\sqrt{192}}\approx 13.86



Comprobamos

= 13.85 * 13.86 \approx 192

Ejemplo 3

Dos postes de 12ft y 28ft de altura distan 30ft entre sí. Los postes se conectan mediante un cable que está atado en un punto en el suelo entre ellos. Dónde debe encontrarse el punto para que se utilice la menor cantidad de cable?

Ejemplo3maxmin.JPG

a=\sqrt{12^2+x^2}

b=\sqrt{28^2+(30-x)^2}

l=a+b=\sqrt{12^2+x^2}+\sqrt{28^2+(30-x)^2}

{l}'_{(x)}=\frac{2x}{2\sqrt{144+x^2}}+\frac{2x-60}{2\sqrt{1680-60x+x^2}}=0

\frac{2x}{2\sqrt{144+x^2}}=\frac{60-2x}{2\sqrt{1680-60x+x^2}}

\frac{2x}{\sqrt{144+x^2}}=\frac{60-2x}{\sqrt{1680-60x+x^2}}

(2x)(\sqrt{1680-60x+x^2})=(60-2x)(\sqrt{144+x^2})

(4x^2)(1680-60x+x^2)=(3600-240x+4x^2)(144+x^2)

6736x^2-240x^3+4x^4=51840-34560x+576x^2+3600x^2-240x^3+4x^4

51840-34560x-2560x^2=0

2x^2+27x-405=0

Resolvemos la ecuación cuadrática

x_{1,2}=\frac{-27 \pm \sqrt{27^2-4(2)(-405)}}{4}

x_1=9, x_2=-22.5 => esta no es solución para nuestro problema

\therefore el punto debe de estar localizado a 9ft del poste de 12ft de altura.


Ejemplo 4

Dada la parábola y=4-x^2 y el punto P(0,2), encuentre el punto de la parábola más cercano al punto P.

Ejemplo4maxmin.JPG

Sabemos que la distancia en 2D está dada por

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Utilizando las coordenadas del punto

d=\sqrt{x^2+(y-2)^2}

Tenemos nuestra restricción de que los puntos deben estar dento de la parábola y=4-x^2 \Rightarrow  x^2=4-y

Sustituimos nuestra restriccion en nuestra función objetivo y obtenemos una funcion que depende solamente de x

d_{(x)}=\sqrt{4-y+(y-2)^2}=\sqrt{y^2-5y+8}

{d}'_{(x)}=\frac{2y-5}{2\sqrt{y^2-5y+8}}=0

Sabemos que para que se cumpla la igualdad solamente el numerador puede ser igual a 0

2y-5=0 \Rightarrow y=\frac{5}{2} \Rightarrow x^2=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}

\therefore Los puntos sobre la parábola más cercanos al punto P son los puntos (\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{5}{2}) y (-\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{5}{2})

Ejemplo 5

Encuentre los valores maximos y minimos absolutos def sobre el intervalo dado

f(x)=x^4-4x^2+2, [-3,2]

\begin{vmatrix}
x & y\\ 
-3 &47 \\ 
-2 & 2\\ 
-1 & -1\\ 
0 & 2\\ 
1 & -1\\ 
2 & 
2\end{vmatrix}

Maximos en f(-3)=47

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