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Variacion de Parametros

De por WikiMatematica.org

El procedimiento para llegar a una solución particular de unaecuación diferencial lineal de primer orden es:

\frac{dy}{dx}  + p(x)y = f(x) 


En un intervalo se aplica también a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar elmétodo de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden,

a_{2}(x)y'' + a_{1}(x)y' + a_{0}(x)y = g(x) 


comenzaremos igual que en la sección 4.2; es decir, llevaremos la ecuación diferencial a su forma reducida

Y” + WY’ + Q(x)Y = f(x) 


dividiéndola por el primer coeficiente, a_{2}(x). Suponemos que P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo. La tercera ecuación es el análogo de la primera ecuación.

Es similar a la hipótesis y_{p} = u(x)y_{1}(x) que usamos anteriormente a fin de hallar una solución particular, y_{p}, de la ecuación lineal de primer orden. Para la ecuación lineal de segundo orden se busca una solución de la forma

y_{p} = u_{1}(x)y_{1}(x) + u_{2}(x)y_{2}(x)  


en que  y_{1} y  y_{2} formen un conjunto fundamental de soluciones de la forma homogénea asociada dela segunda ecuacion. Aplicamos dos veces la regla del producto para diferenciar y, y obtenemos

y'_{p} = u_{1}y'_{1} + u'_{1}y_{1} + u_{2}y'_{2} + u'_{2}y_{2}  


y''_{p} = u_{1}y''_{1} + 2u'_{1}y'_{1} + u''_{1}y_{1} + u_{2}y''_{2} + u''_{2}y_{2} + 2u'_{2}y'_{2} 


Sustituimos, las derivadas de arriba en la ecuacion y agrupamos los términos:

y''_{p} = \frac{d}{dx}[u'_{1}y_{1} + u'_{2}y_{2}] + P[u'_{1}y_{1} + u'_{2}y_{2}] + yiu'{1} + y'_{2}u'{2} = f(x) 


Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hipótesis adicional de que las funciones U1 y U2 satisfacen u'_{1}y_{1} + u'_{2}y_{2} = 0 . Con esto obtenemos que u'_{1}y_{1} + u'_{2}y_{2} = f(x) y obtendríamos las dos ecuaciones del sistema. Aplicamos la regla de Cramer y la solución del sistema:

u'_{1}y_{1} + u'_{2}y_{2} = 0 


u'_{1}y_{1} + u'_{2}y_{2} = f(x) 


se puede expresar en términos de los determinantes
u'_{1} = \frac{W_{1}}{W} u'_{2} = \frac{W_{1}}{W}
en donde

W =\begin{bmatrix} y_{1} & y{2} \\  y'{1} & y'{2} \end{bmatrix}


W_{1} =\begin{bmatrix} 0 & y{2} \\  f(x) & y'{2} \end{bmatrix}
W_{2} =\begin{bmatrix} y_{1} & 0 \\  y'{1} & f(x) \end{bmatrix}

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