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Vectores

De por WikiMatematica.org


Contenido

Sistemas de planos coordenados

Antes de hablar de vectores recordaremos brevemente los sistemas coordenadas.

Los sistemas coordenados que nosotros podemos representar son los que estan en 2D y 3D, ya que más dimensiones nos es imposible graficar.

En 2D recordamos que representaremos un punto como un par ordenado de la forma P=(x,y) siento x la coordenada medida desde el origen sobre el eje x y y su coordenada medida desde el origen sobre el eje y. En 2D los ejes parten el plano en cuatro partes a las que llamaremos cuadrantes y están organizadas de la siguiente forma

Cuadrante.jpg


En 3D no cambia mucho ya que tenemos un punto representado por una terna ordenada de la forma P=(x,y,z) siendo cada una de sus componentes la coordenada respectiva a cada eje (eje x, eje y y eje z respectivamente). En 3D el plano ahora es dividido en 8 partes y llamaremos a cada una de las partes octantes y están organizados de la siguiente forma siendo el primer octante donde todos los ejes son positivos, los primeros cuato localizados en la parte positiva del eje z y los restantes en la parte negativa

Octantes.jpg

Vectores

Ya que recordamos la representación de puntos en los sistemas coordenadas podemos pasar a explicar qué es un vector.

Diremos que un vector es un segmento de recta que está dirigido desde un punto A hacia un punto B. Un vector posee una magnitud y una dirección. En este caso representaremos a un vector en 2D como \vec{a}=<a_1,a_2> y a un vector en 3D como \vec{a}=<a_1,a_2,a_3>. Un vector que esté dirigido desde el origen hasta algún punto es conocido como el vector posición. Para encontrar un vector que vaya de un punto A hacia un punto B, simplemente restaremos las coordenadas del punto A a las coordenadas del punto B, o también lo podemos ver como la resta entre los vectores posición de los puntos A y B.

Vectores.jpg

Operaciones con vectores

Sabemos que los espacios vectoriales son grupos abelianos. Siendo todos los espacios vectoriales grupos abelianos sabemos que la suma de vectores, la resta de vectores y la multiplicación de un vector con un escalar se comportarán de la misma manera en todas las dimensiones. A continuación se ejemplificarán las operaciones en 2D para servirnos de guía para las demás dimensiones.

Suma y resta de vectores

Se define la suma y resta de vectores de la siguiente forma:
\vec{a} \pm \vec{b}=<a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2>


Vect suma resta.jpg

Multiplicación de un vector por un escalar

Se define la multiplicación de un vector con un escalar de la siguiente forma:
c \cdot \vec{a}=<ca_1,ca_2>
Vect mult.jpg

Norma de un vector

Se define la norma de un vector como
\left \| \vec{a} \right \| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2}
en 2D tendríamos \left \| \vec{a} \right \| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}
La norma del vector también es conocida como la magnitud de un vector, es decir la distancia que hay entre la punta y la cola del vector.
Vector unitario
Se conoce como vector unitario a aquel vector cuya norma es 1. Suele representarse como \vec {a_0} o \hat{a}.
Para unitarizar un vector simplemente lo multiplicamos por el inverso de su norma
\hat{a}= \frac{1}{\left \| \vec{a} \right \|} \vec{a}
Los vectores unitarios más utilizados son los vectores \hat{i}, \hat{j} y en caso de estar en 3D se agrega el vector \hat{k}, ya que ellos son una base del espacio vectorial y a partir de ellos podemos formar cualquier vector en el espacio. En 2D \hat{i}=<1,0> y \hat{j}=<0,1>, mientras en 3D \hat{i}=<1,0,0>, \hat{j}=<0,1,0> y \hat{k}=<0,0,1>

Propiedades de los vectores

Sean \vec{a}, \vec{b} vectores del espacio y \alpha, \beta escalares se cumplen las siguientes propiedades:

  • \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
  • \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})=(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}
  • \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}, siendo \vec{0} el vector llamado vector nulo
  • \vec{a} + \vec{-a} = \vec{0}
  • \alpha (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha \vec{a} + \alpha \vec{b}
  • (\alpha + \beta)\vec{a}=\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}
  • (\alpha \beta)\vec{a}=\alpha (\beta \vec{a})
  • 1 \vec{a}=\vec{a}

Producto punto o producto interno

Sean los vectores:

\vec{a}=<a_{1},a_{2},a_{3}>
\vec{b}=<b_{1},b_{2},b_{3}>

El producto punto entre ellos seria:
\vec{a}\cdot \vec{b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}


En general:
\vec{a}=<a_{1},a_{2},...,a_{n}>
\vec{b}=<b_{1},b_{2},...,b_{n}>
\vec{a}\cdot \vec{b}}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}

Ejercicios Producto Punto


Vector propunto.png
Vector propunto3.png

Escalar por Vector


Vector escalarxvec.png

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