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Volúmenes, por WikiMatematica.org
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Volúmenes

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Volumen de sólidos de revolución

Este cuerpo solido se puede formar cuando giramos una region plana alrededor de un eje. 

Al tratar de hallar el volumen de un sólido, encarramos el mismo tipo de problema que al buscar áreas. Tenemos una idea intuitiva de lo que significa volumen, pero debemos afinarla aplicando el cálculo para dar una definicion exacta de volumen.

En pocas palabras, el volumen es simplemente el espacio que ocupa un cuerpo. Para representar los volumenes en un espacio, se representa en una grafica 3D y se calculan con triples integrales,calculando el dominio 3D del diferencial del volumen.

Demostración de la ecuación de volumen

Sea S un solido que se encuentra entre x=a y x=b. Si el área de la sección transversal de S en el plano Px, que pasa por x y es perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de S es

  V = \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}A\left ( x_{i}^{*} \right )\Delta x=\int_{a}^{b}A\left ( x \right )dx 

Ejemplo

Demostrar que el volumen de una esfera de radio r es:
V=\frac{4}{3}\pi r^3

Si coloca la esfera de modo que su centro está en el origen después el plano P_{x} corta la esfera en un círculo cuyo radio es y = \sqrt{r^2-x^2}. De este modo el área de la sección transversal es:
A(x)=\pi y^2=\pi(r^2-x^2)

Si aplica la definición del volumen con  a=-r</text> y <tex>b=r, tiene:
V=\int_{-r}^{r}A(x)dx=\int_{-r}^{r}\pi (r^2-x^2)dx
V=2\pi \int_{0}^{r}(r^2-x^2)dx
V=2\pi\left (r^3- \frac{r^3}{3} \right )
V=\frac{4}{3}\pi r^3


Ejemplo 2

(a) Plantee una integral para el volumen de un sólido Toro[1] de radio r y R.

Torus.png

El toro se obtiene al girar: (x-R^2)+y^2=r^2

Resolviendo para x: Por la derecha: x=R+\sqrt{r^2 - y^2} Por la izquierda: x=R-\sqrt{r^2 - y^2}

El volumen estará dado por: \pi \int_a^b \left<{f(y)^2 - g(y)^2}\right> dy

Donde a=-r y b=r;

Diagrama.jpg

Integrar de 0 a r.

2\pi \int_0^r \left<{R^2 + 2R\sqrt{r^2 - y^2}+r^2-y^2}\right> -\left<{R^2 - 2R\sqrt{r^2 - y^2}+r^2-y^2}\right> dy

Simplificando: 2\pi \int_0^r \left<{4R\sqrt{r^2 - y^2}}\right> dy

(b) Por la interpretación de la integral como un área, calcule el volumen del toro.

La integral representa un cuarto del área del círculo de radio r. Resolviendo la integral:

8\pi R \int_0^r \left<{\sqrt{r^2 - y^2}}\right> dy

Por sustitución trigonométrica:

 y=rsen(u)\textrm{  ;  } dy=rcos(u)du \textrm{  ;  } \sqrt{r^2 - y^2}= rcos(u)

8\pi R r^2\int \left<{cos^2 (u) }\right> du

Sustituir:

cos^2(u) = \frac{1}{2} cos (2u) +\frac{1}{2}

8\pi R r^2\int \left<{\frac{1}{2} cos (2u) +\frac{1}{2} }\right> du

4\pi R r^2\int \left<{\cos (2u) +1 }\right> du

4\pi R r^2 \left<{\int cos (2u) du +\int du}\right>

Integrando: 4\pi R r^2 \left<{  \frac{sen (2u)}{2}+ u}\right>

Sustituyendo valores: 4\pi R  \left<{  \frac{1}{2} ry\sqrt{1-\frac{y^2}{r^2}} + \frac{r^2}{2}arcsen (\frac{y}{r})}\right>

Evaluando desde 0 a r:

8\pi R \cdot{} \frac{1}{4}\ \pi r^2

Es decir:

2\pi^2 r^2 R

10007300 20:53 3 nov 2010 (CST) 10007300 IME

Ejemplo 3

volumen del solido generado al hacer girar alrededor dela recta x= -4 la region limitada por esa recta y la parabola x=4+6y-2y^2

  1. .Primero Iguala las Ecuaciones

 x = 4 + 6y - 2y^2 .....y .... x= -4 --> 4 + 6y - 2y^2 = -4 que la ecuación quede = 0 que seria.. 8 + 6y - 2y^2 = 0


2.Utilizas la funcion f(y)= 8 + 6y - 2y^2 = 0 para determinar el volumen del Cilindro.

Volumen del Cilindro--> V=π* r^2*altura Con esta formula se obtiene la del Volumen en revolucion.

Volumen en Revolucion--> V= π* (f(y))^2 dy


3.Sumaremos cilindros diferenciales sacados con la formula del Volumen de Revolucion con una integral definida.

∫ π*(f(y))^2dy

despues de integrar la funcion falta evaluarla para obtener el Volumen.


4.Utilizas la Formula general  y=-b+-√((b^2-4ac))/(2a) para sacar los valores de "Y" estos se convertirán en el Rango.


5.Con estos datos y usando el teorema fundamental del Calculo (integral definida) Obtendremos el Volumen. Rango= y = 4, y = -1

Respuesta

Integral indefinida= 4π (y^2 - 3·y - 4)^2 dy

Volumen = 1250π / 3


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